UNIDAD_3

MODELO GEOMÉTRICO

INTRODUCCION  

Modelado Geométrico, son las representaciones de un objeto que se puede modelar de múltiples maneras. Todo depende del uso que se pretenda dar para que el proceso sea eficaz y evitar problemas innecesarios.

Un mismo objeto puede modelarse de múltiples maneras. La elección del método depende directamente del uso que se le pretenda dar y la elección adecuada es crucial para que el proceso sea eficaz y para evitar problemas innecesarios.

Si se prevé que será necesario hacer cam­bios en los objetos es preferible trabajar con objetos paramétricas y modificadores asocia­dos. Si no es así, la mejor opción es convertir cuanto antes el objeto a malla poligonal y sacar partido de los poderosos recursos de edición de mallas de 3Dstudio para modelar modificando directamente los elementos básicos (sub obje­tos): vértices, aristas y caras. Hay que tener presente que, en última instancia, cualquier objeto se convierte en una malla poligonal en el momento de la representación. Trabajar a nivel de malla quiere decir por consiguiente que se tiene el máximo control sobre el resultado y, por añadidura, que se economizan recursos.

La mejor opción, en muchos casos, es tra­bajar inicialmente con objetos paramétricos, grabar el archivo con otro nombre y completar el modelado convirtiendo los objetos a mallas poligonales. De este modo se mantiene abierta la posibilidad de volver al archivo original para sacar partido de los parámetros iníciales de definición del objeto.

La densidad de la malla asociada a un objeto paramétrico se controla desde el momento en que se crea el objeto y puede modificarse en cualquier momento mientras no se lleve a cabo su conversión a malla poligonal. El que se quiera hacer que esta densidad sea mayor dependerá del tipo de objeto (los objetos curvos requieren mayores densidades para simular la curvatura) del tamaño y nivel de detalle requerido y de la distancia de observación o escalas de per­cepción previstas. Hasta tal punto pueden ser cruciales estos últimos aspectos que en muchos casos conviene trabajar en Multirresolución y contar con diferentes copias de un mismo objeto y substituirlas por medio de las opciones que se encuentran en el Panel Utilidades/ Nivel de detalle (Level of Detail, LOD).

Los parches paramétricos o "correctores" y las nurbs son adecuados para generar objetos orgánicos de formas curvas continuas. El nú­mero de caras a que dan lugar es muy alto y, en general, sus ventajas no compensan estos inconvenientes en el caso de la arquitectura excepto en casos especiales. Por esta razón no se incluyen en este curso.

Las entidades básicas, en 3D Studio, como en la mayoría de los programas de modelado, son splines (2D) y mallas poligonales (3D). Pero, al igual que ocurre con las mallas poligonales, las splines no se crean directamente sino que están implícitas en la creación de figuras o formas pa­ramétricas (shapes). Las formas paramétricas disponibles en Max 6.0 son las once siguientes: línea, rectángulo, círculo, elipse, arco, corona, polígono, estrella, texto, hélice (3D) y sección. Son prácticamente las mismas que en versio­nes anteriores.

Su modo de creación y sus parámetros son directos y sobran las explicaciones, excepto, quizás, en el caso de la última que puede re­sultar algo más esquiva. Una sección se crea en relación con un objeto ya existente en la escena. Para probar como funciona esta figura colocarse en un visor de modo que se vea el ob­jeto que se quiere seccionar y con la orientación adecuada. Por ejemplo, si se quiere seccionar verticalmente un cono situarse en un visor frontal o lateral. Desde el Panel Crear/ Formas, presionar el botón Sección y arrastrar: apare­cerá una cuadrícula que representa el plano de corte. Mover y rotar esta cuadrícula de sección hasta que se vea aparecer una línea amarilla sobre el cono que corresponde al corte con el plano. Desde el propio panel o, después, desde el panel de Modificar, presionar el botón Crear

Forma. Se abrirá un cuadro de diálogo en que se pregunta un nombre para la nueva spline que pasará a formar parte de la escena como objeto independiente. Si el botón Actualizar al mover la sección se mantiene activado bastará mover la forma hasta su posición adecuada para que vaya cambiando en función de la sección del objeto de referencia.

La cantidad total de datos que se deben almacenar en un modelo informático, depende del ámbito de las preguntas que algorítmicamente queramos responder a partir del modelo.

Muchos de los problemas a resolver mediante modelos tienen naturaleza geométrica. Por ejemplo, el problema de hallar la imagen coloreada de un objeto incluye cuestiones geométricas tales como:

1) ¿Qué partes del objeto son visibles para el observador?

2) ¿Qué color ha de ser asignado a cada punto de la imagen?

Si podemos representar en el ordenador la forma geométrica de un objeto, podremos responder a estas preguntas y a muchas otras. De hecho, la información geométrica sobre un objeto es la parte más útil del total de información sobre el objeto. Además, las técnicas para almacenar y procesar la información geométrica son relativamente independientes de un modelo particular. Así, procesos esencialmente iguales de modelado se utilizan en la construcción de modelos de barcos, casas, o zapatos.

Acorde con lo dicho anteriormente, en un modelo tiene sentido separar la información geométrica de los objetos, de la no geométrica. Bajo este planteamiento, al total de información del modelo informático se conoce como modelo del objeto, mientras que la información exclusivamente geométrica constituye el modelo geométrico.

Por lo tanto, el concepto de Modelado Geométrico se refiere al conjunto de métodos utilizados para definir la forma y otras características de los objetos. La construcción de los objetos es normalmente, en sí misma, una operación asistida por ordenador. Éstos juegan un papel primordial, ya que sin su potencia de cálculo los procedimientos del Modelado Geométrico solamente podrían aplicarse en modelos de escasa importancia práctica.

Los métodos del Modelado Geométrico vienen a ser un compendio de las técnicas utilizadas en varias disciplinas, como la Geometría Analítica y Descriptiva, la Topología, la Teoría de Conjuntos, el Análisis Numérico, las Estructuras de Datos, el Cálculo Vectorial y los Métodos Matriciales.

3.1 Modelos geométricos.

Describen componentes con propiedades geométricas inherentes y por lo tanto se presentan en forma natural a la representación grafica. Formas entre los que se puede representar un modelo geométrico:

·   Distribución espacial y forma de los componentes y otros componentes que afectan a la apariencia de los componentes.

·     Conectividad de los componentes

·     Los valores de datos específicos para la aplicación

JERARQUIA DE MODELOS GEOMETRICOS

Los componentes se usan como bloques básicos para crear entidades de nivel superior, que sirven como bloques para entidades de nivel mas alto. una vez que se descompone una entidad en un conjunto de partes se crean a menudo una jerarquía de dos niveles.

Para simplificar la tarea de construcción de objetos se usan componentes atómicos específicos: en dos dimensiones componentes que generalmente se dibujan usando plantillas dibujadas por el computador; en tres dimensiones se usan como bloques básicos, son formas tridimensionales que pueden definirse en función de primitivas genéricas de nivel más bajo.

·         Un objeto es una forma compuesta y todos sus datos

·         Una jerarquía se crea para varios propósitos:

·         Construir objetos complejos en forma modular empleando invocaciones repetidas a bloques básicos

Aumentar la economía de almacenamiento para permitir la propagación de actualizaciones ya que un cambio en la definición de un objeto se propaga automáticamente a los objetos de nivel superior.

3.1.1 Modelado de superficie.

Es una versión enriquecida del anterior, puesto que constituye un conjunto de facetas (patches) a partir de los atributos del modelo de malla (lados y aristas), para entregar una representación más completa del objeto. El resultado de cortar un modelo de este tipo por un plano es un conjunto de curvas.

Existen dos enfoques para la presentación de la superficie externa del objeto:

1) El objeto se representa con una lista de facetas, descritas por los lados y las aristas que la delimitan. La lista de caras puede incluir solamente informaciones geométricas propias de cada faceta (tamaño, posición respecto a un origen, etc.), o puede estar estructurada en un conjunto más complejo, donde los nodos de tipo “cara” se ligan a los nodos arista a través de los nodos “lados”. Estas conexiones pueden presentarse en forma de gráficas o de una estructura de árbol.

2). El objeto se representa empleando superficies de “forma libre”, que el usuario manipula interactivamente a través de puntos llamados de “control”. Se utiliza una superficie representada por ecuaciones paramétricas, que efectúa una aproximación de la envoltura exterior del objeto. Estas ecuaciones paramétricas dan como resultado una malla de elementos finitos de forma específica (generalmente cuadrados o triangulares) y utilizan puntos característicos para cambiar la forma final de la superficie. El modelo algebraico describe un sólido a partir de su frontera. (Conjunto de superficies que separa el sólido de la parte del espacio no ocupada por el).

La frontera se puede ver como la piel del sólido. Obviamente cualquier superficie no determina un sólido. Para que un conjunto de superficies describan un sólido deben satisfacer la siguiente propiedad.

3.1.2 Modelado de sólido.

Aquí se representa un sólido mediante el modelo de círculos en movimiento. Los sólidos están constituidos también por partículas en movimiento. La fuerza de atracción entre sus moléculas es muy grande. Cuando las partículas están tan bien ordenadas como las del applet se llaman sólidos cristalinos o cristales. La sal común, NaCl, es un buen ejemplo de cristal.

Los vidrios de las ventanas no están tan bien ordenados, por lo que, en química, no se les llaman cristales sino vidrios o sólidos amorfos.

Al aumentar la temperatura de un cuerpo, aumenta la velocidad de sus partículas.

Cuando su velocidad es suficiente como para que su estructura se desmorone, el sólido se convierte en un líquido: fusión.

Cuando la velocidad es tan grande como para pasar directamente a gas, se llama sublimación.

Cuando la velocidad de las partículas del líquido disminuye, se transforma en un sólido: sodificación.

El Modelado Sólido es una rama relativamente reciente del Modelado Geométrico, que hace hincapié en la aplicabilidad general de los modelos, e insiste en crear solamente modelos "completos" de los sólidos, es decir, modelos que son adecuados para responder algorítmicamente (sin la ayuda externa del usuario) a cualquier pregunta geométrica que se formule.

Los principales esquemas de Modelado Sólido desarrollados son el de Representación de Fronteras (Boundary Representation o B-Rep) y el de la Geometría Constructiva de Sólidos (Constructive Solid Geometry o CSG), aunque existen muchos otros, como el modelado de barrido translacional y rotacional, o los esquemas de modelado híbridos.

El objetivo de "aplicabilidad general" diferencia los esquemas de Modelado Sólido de otros esquemas de modelado geométricos, los cuales se utilizan en casos especiales. Así, los modelos gráficos (graphical models) se utilizan para describir el dibujo técnico de los objetos, por ejemplo en ingeniería. Los modelos de formas (shape models) representan imágenes de los objetos. Pueden ser una colección sin estructurar de elementos de una imagen, o poseer cierta estructura para, por ejemplo, realizar operaciones de tratamiento de imágenes. Los modelos de superficie (surface models) dan información detallada sobre superficies, pero no siempre proporcionan la información suficiente para determinar todas las propiedades geométricas.

3.1.3 Procesos generativos.

Exploración de nuevas estrategias de diseño a partir del entendimiento y aplicación del fenómeno de la emergencia. El programa hace énfasis en el desarrollo práctico de los conocimientos obtenidos utilizando Grasshopper como plataforma de generación digital y herramientas digitales de fabricación y prototipado como medios de materialización del producto generado, para más información:

Es muy importante saber cómo dibujar e 3D para adecuar el diseño al sistema que se utiliza para el modelado. El Render elimina todas las caras que se vean por su parte posterior desde el punto de vista actual con el fi de aumentar la velocidad de modelado. El vector normal de las caras; situado en su centro se orienta perpendicularmente hacia el espacio exterior si la cara se dibuja en el sentido anti-horario, esto determina la parte delantera de una cara. Se puede determinar que el Render tome en cuenta las caras traseras para la correcta modelización de objetos que sean transparentes o que estén abiertos y por el punto de vista, se muestre su interior.

La complejidad de un dibujo y su modelado En función de la complejidad del dibujo 3D, número de caras y vértices, se tardarán más o menos en obtener una modelización. Es muy importante establecer u criterio adecuado que relacione la complejidad y el nivel de detalle de cada objeto con su importancia dentro de toda la escena. El estado del dibujo incide en los resultados del modelado Si se da una intersección entre dos caras es posible que se produzca errores según el sistema de modelado utilizado. Las caras coincidentes y coplanares pueden producir resultados ambiguos sobre todo si son de materiales diferentes. Las caras cruzadas o en forma de pajarita también son problemáticas ya que su entorno normal no está correctamente definido

3.2 Proyecciones.

La proyección es la representación gráfica de un objeto sobre una superficie plana, obtenida al unir las intersecciones sobre dicho plano de las líneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vértice.

En términos generales, las proyecciones transforman puntos en un sistema de coordenadas de dimensión n a puntos en un sistema de coordenadas con dimensión menor que n. De hecho, durante mucho tiempo se ha usado la graficación por computador para estudiar objetos n-dimensionales por medio de su proyección sobre dos dimensiones.

La proyección de objetos tridimensionales es definida por rayos de proyección rectos, llamados proyectores, que emanan de un centro de proyección, pasan por cada punto del objeto e intersecan un plano de proyección para formar la proyección. Por lo general, el centro de proyección se encuentra a una distancia finita del plano de proyección. Sin embargo, en algunos tipos de proyecciones es conveniente pensar en función de un centro de proyección que tienda a estar infinitamente lejos.

En la figura se presentan dos proyecciones diferentes de la misma línea. Afortunadamente, la proyección de una línea es en sí una línea, de manera que sólo hay que proyectar los puntos extremos. La clase de proyecciones que trataremos aquí se conoce como proyecciones geométricas planas, ya que la proyección es sobre un plano y no sobre una superficie curva y porque usa proyectores rectos y no curvos. Varias proyecciones cartográficas son no planas o no geométricas.

Al definir una proyección de perspectiva se especifica explícitamente su centro de proyección; en el caso de una proyección paralela, se indica su dirección de proyección. El centro de proyección es un punto, por lo cual tiene coordenadas homogéneas de la forma (x, y, z, 1). Como la dirección de proyección es un vector (es decir, la diferencia entre dos puntos), lo podemos calcular restando los dos puntos d = (x, y, z, 1) - (x', y', z', 1) = (a, b, c, 0).

3.2.1 Proyección paralela.

Cuando las líneas proyectantes son paralelas como el anterior objeto alumbrado por la luz del Sol, se habla de proyección paralela. Es un caso particular de proyección central, donde el foco del haz proyectante estaría a distancia infinita.

El sistema diédrico

Es el caso del sistema diédrico, en el que además se cumple que las líneas proyectantes son perpendiculares (ortogonales) al plano de proyección. En este sistema, a diferencia de los demás, no se obtiene una representación volumétrica del objeto en perspectiva, sino su alzado, planta y perfil. A partir de dichas vistas, se puede conseguir una representación tridimensional del objeto en el sistema axonométrico, cuyas líneas proyectantes pueden ser tanto ortogonales como oblicuas, siendo la perspectiva caballera un caso particular de éste sistema.

El dibujo acotado

Una variante del sistema diédrico, es el dibujo acotado, igualmente de proyección ortogonal, consistente en la representación de alzados o varias secciones paralelas del objeto. Este sistema se emplea para la mejor definición y reproducción de superficies complejas, como son las secciones de un edificio, el casco de un buque, el perfil del terreno y otros elementos similares que, en la práctica, no pueden describirse adecuadamente con los sistemas anteriormente señalados. Son muy utilizados en arquitectura, ingeniería, topografía, etc.

Se obtiene transfiriendo las descripciones de los objetos al plano de visualización según unas trayectorias de proyección que pueden tener cualquier dirección relativa seleccionada con respecto al vector normal del plano de visualización.

Las proyecciones paralelas se clasifican en dos tipos, dependiendo de la relación entre la dirección de la proyección y la normal al plano de proyección. En las proyecciones paralelas ortográficas, estas direcciones son las mismas (o en sentido contrario): de manera que la dirección de la proyección es normal al plano de proyección. Esto no ocurre en la proyección paralela oblicua, esta se definen utilizando un vector de dirección para las líneas de proyección, y esta dirección puede especificarse de varias formas.

Sin embargo, cada proyección sólo muestra una cara del objeto, de manera que puede ser difícil deducir la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, incluso si se estudian simultáneamente varias proyecciones del mismo objeto. Las proyecciones ortográficas axonométricas usan planos de proyección que no son normales a un eje principal y que por ende muestran varias caras de un objeto al mismo tiempo.

Las proyecciones oblicuas combinan las propiedades de las proyecciones ortográficas frontal, superior y lateral con las de una proyección axonométrica: el plano de proyección es normal a un eje principal, de manera que la proyección de la cara del objeto paralela a este plano permite medir ángulos y distancias. También se proyectan otras caras del objeto, lo que permite medir las distancias sobre los ejes principales, aunque no los ángulos. En la figura siguiente se muestra la construcción de una proyección oblicua. Observe que la normal al plano de proyección la dirección de la proyección no son iguales.

3.2.2 Proyección isométrica.

Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus aristas de igual medida.

EJES UTILIZADOS EN EL DIBUJO ISOMÉTRICO. La base del dibujo isométrico es un sistema de tres ejes que se llaman “ejes isométricos” que representan a las tres aristas de un cubo, que forman entre sí ángulos de 120°

a) LÍNEAS ISOMÉTRICAS. Son aquellas líneas que son paralelas a cualquiera de los tres ejes isométricos

b) LÍNEAS NO ISOMÉTRICAS. Son aquellas líneas inclinadas sobre las cuales no se pueden medir distancias verdaderas; estas líneas cuando se encuentran presente en un dibujo isométrico no se hallan ni a lo largo de los ejes ni son paralelas a los mismos. Además las líneas no isométricas se dibujan tomando como puntos de referencia otros puntos pertenecientes a líneas isométricas

MODELOS REALIZADOS EN EL DIBUJO ISOMÉTRICO. Dibujo isométrico de un cuadrado. Dibujo isométrico de una circunferencia. Dibujo isométrico de un arco. Dibujo isométrico de un sólido irregula. (Colaborador del artículo: Wendy castellanos)

Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus aristas de igual medida.

Una proyección isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica1 cilíndrica2 ortogonal.3Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

La proyección axonométrica más comúnmente utilizada es la proyección isométrica, que se genera alineando el plano de proyección (o el objeto) de modo que el plano intersecte todos los ejes de coordenadas sobre los que está definido el objeto, denominados ejes principales, a la misma distancia del origen. Los tres ejes principales se acortan de forma igual en una proyección isométrica, por lo que se mantienen las proporciones relativas; Este no es el caso en una proyección axonométrica general, donde los factores de escala pueden ser diferentes para las tres direcciones principales.

Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus aristas de igual medida.

3.2.3 Proyección de perspectiva.

Centro de proyección es un punto propio

Perspectiva de un punto de fuga (vanishing point)

1. Una cara del objeto (dos de los ejes principales) es paralela a plano de proyección
   Normal a plano de proyección es paralela a una de las direcciones principales
2. Rectas perpendiculares a plano de proyección dejan de ser paralelas al proyectarse
   Se unen en punto de fuga
3. Si plano de proyección es el plano XY, el punto de fuga es el transformado de (0,0,1,0)

Perspectiva de dos puntos de fuga

1. Uno de los ejes principales es paralelo al plano de proyección
   Normal a plano de proyección es perpendicular a una de las direcciones principales
2. Rectas paralelas que además sean perpendiculares al eje paralelo al plano de proyección, dejan de ser paralelas al proyectarse
   Se unen en línea del horizonte
3. Rectas paralelas al eje paralelo a plano de proyección siguen siendo paralelas (y perpendiculares a la línea del horizonte)

Perspectiva de tres puntos de fuga

Ninguno de los ejes principales es paralelo al plano de proyección

Rectas paralelas a algún eje principal dejan de serlo al proyectarse

Este tipo de  proyección cambia los tamaños de los objetos de modo que aquellos que están más alejados de la posición de visión se desplieguen de menor tamaño que los que están más próximos a la posición de visión. Las líneas paralelas sobre la superficie de un objeto se proyectan ahora en líneas que tienden a converger. Los objetos desplegados como proyecciones en perspectivas parecen más naturales, ya que está es la manera en que el ojo y los lentes de una cámara forman imágenes.

Las técnicas de la proyección perspectiva son generalizaciones de los principios empleados por los artistas al preparar dibujos en perspectiva de objetos y escenas tridimensionales. El plano que la contiene se vuelve el plano de vista. Los dibujos en perspectiva se caracterizan por el acortamiento perspectivo y los puntos de fuga. El acortamiento perspectivo es la ilusión de que los objetos y longitudes parecen más pequeños conforme aumenta su distancia con respecto al centro de proyección. La ilusión de que, cierto conjunto de líneas paralelas parecen unirse en un punto es otra característica de los dibujos en perspectiva. A dichos puntos se les denomina puntos principales de fuga están formados por la intersección aparente de líneas paralelas a uno de los tres ejes principales x, y o z.

3.2.4 Identificación de superficies y líneas visibles.

Es posible aclarar las relaciones de profundidad identificando las líneas visibles. Se puede realzar las líneas visibles o desplegarlas de un color diferente, también se pueden desplegar las áreas no visibles como líneas punteadas o eliminar sólo las líneas no visibles. Estos métodos también identifican las superficies visibles.

Es posible aclarar las relaciones de profundidad identificando las líneas visibles. Existe métodos para realizar esto, el método más sencillo es el de resaltar las líneas visibles o mostrarlas de un color diferente otra técnica que se utiliza es muy común para los diseños de ingeniería, que es el despliegue de las áreas no visibles como son las líneas de rayas, uno planteamiento más consiste en eliminar las líneas ocultas. Pero si se realiza esto, se puede eliminar la información de la forma de la superficie traseras del objeto. Estos métodos mencionados de línea visible también identifican las superficies de los objetos.

Si se debe de desplegar algún objeto con color o con una superficie sombreada se aplican procedimientos de de representación de superficies para las superficies visibles, para que se obscurezcan las superficies ocultas. Algunos de los algoritmos de superficie visible dicen que la visibilidad esta establecida píxel por píxel a lo largo de la pantalla y otros algoritmos determinan la visibilidad para las superficies de un objeto como un todo. Representación de superficie Se puede obtener un realismo mayor si se representan las superficies de los objetos al utilizar condiciones de iluminación de una escena y de las características que se le asignen a la superficie. Las condiciones de luz se establecen al identificar el color y la ubicación de las fuentes de luz, al igual de definir efectos de iluminación de fondo. Las propiedades de la superficie pueden incluir in formación de la superficie si está trasparente u opaca, al igual si es suave o rugosa.

3.3 Representación tridimensional de objetos.

La encarnación preferida de la invención incluye el hardware y el software para los objetos y extraer de la exploración su geometría e información del color para generar sus representaciones (tridimensionales) 3D en una computadora. La encarnación preferida utiliza una computadora, una cámara de vídeo, una fuente de luz, y un indicador situado dentro del campo visual de la cámara fotográfica en un de posición fija. Preferiblemente, la fuente de luz proyecta una línea quebradiza de la luz en el objeto explorado. El software de la encarnación preferida procesa los marcos producidos por la cámara fotográfica. Localiza preferiblemente la línea iluminada y el indicador, y utiliza esta información para determinar los coordenadas 3D de los puntos iluminados. Los coordenadas 3D de los puntos se utilizan para construir las representaciones 3D de objetos. La encarnación preferida también obtiene la información del color del objeto y de los mapas explorados él a la representación 3D.

Cualquier objeto tridimensional puede representarse como un conjunto de superficies poligonales planas. Para  algunos objetos, como un polihedro, esto define precisamente las características de la superficie. En otros casos, una representación de un polígono ofrece una descripción aproximada del objeto. En la figura 1.1 se despliega un objeto solido modelado como una malla de superficies poligonales. Esta representación de la malla de polígonos puede desplegarse rápidamente para dar una indicación general de la estructura del objeto y la aproximación puede mejorarse dividiendo las superficies del objeto en caras poligonales menores.

Cada polígono de un objeto puede especificarse en un paquete de graficas mediante comando de líneas o de llenado de áreas para definir las coordenadas del vértice. Los paquetes CAD a menudo permiten a los usuarios introducir posiciones para el vértice junto con fronteras de polígonos con métodos interactivos. Estos vértices pueden representar el resultado de la digitalización de un trazo o bien pueden ser introducidos por un diseñador que este creando una nueva figura.

3.3.1 Superficies de polígonos.

La superficie de un polígono se especifica con el conjunto de coordenadas de sus vértices, y parámetros para sus atributos asociados.

Los datos se colocan en tablas que se utilizarán en el procesamiento, despliegue y manipulación de objetos en una escena. Las tablas de datos se organizan en: Tablas geométricas Contienen las coordenadas de vértices y los parámetros para identificar la orientación espacial de las superfices del polígono. Tablas de atributos. Parámetros como grado de transparencia, reflectividad y textura. En cuanto a las tablas geométricas, una organización conveniente para almacenar los datos es crear 3 listas: Vértices Donde se almacenan las coordenadas para cada vértice. Aristas Contiene apuntadores a la tabla de vértices para identificar los vértices de que se compone cada arista. Polígonos Contiene apuntadores a la tabla de aristas para identificar las aristas de que se compone cada polígono. Además, a los objetos individuales y las caras de polígonos que los componen se les puede asignar identificadores de objeto y de faceta para una referencia rápida.

La representación de frontera que más se utiliza para un objeto gráfico tridimensional es un conjunto de polígonos de superficie que encierra el interior del objeto. Muchos sistemas gráficos almacenan todas las descripciones de objetos como conjuntos de polígonos de superficie. Esto facilita y acelera la representación de superficie y el despliegue de objetos, ya que todas las superficies se describen con ecuaciones lineales. Por esta razón, con frecuencia nos referimos a las descripciones de polígonos como “ objetos gráficos estándar”.

En algunos casos, una representación de polígonos es la única disponible, pero muchos paquetes permiten que los objetos se describan como otros esquemas, como superficies de spline, que se convierten en representaciones de polígonos para el procesamiento. Una representación de polígono para un poliedro define con precisión las características de superficie del objeto. Pero para otros objetos, las superficies seteselan (o tejan) para producir la aproximación del enlace polígonos. La superficie de un cilindro se representa como un enlace de polígonos. Tales representaciones son comunes en las aplicaciones de diseño y modelado de sólidos, ya que el contorno de armazón se puede desplegar con rapidez para dar una indicación general de la estructura de la superficie.

Las representaciones realistas se producen al interpolar los patrones de sombreado a lo ancho de las superficies de los polígonos para eliminar o reducir la presencia de fronteras de aristas de polígonos. Y la aproximación del enlace de polígonos a una superficie curva se puede mejorar al dividir la superficie en facetas de polígonos más pequeños.

3.3.2 Líneas y superficies curvas.

La necesidad de representar curvas y superficies proviene de modelar objetos “from scratch” o representar objetos reales. En este último caso, normalmente no existe un modelo matemático previo del objeto, y el objeto se aproxima con “pedazos” de planos, esferas y otras formas simples de modelar, requiriéndose que los puntos del modelo sean cercanos a los correspondientes puntos del objeto real. Curvas

Representación de curvas

Representación no paramétrico.

La representación no paramétricas de una curva (por ejemplo, en dos dimensiones) puede ser implícita, y = f(x)

o bien explícita,

f(x, y) = 0

La forma implícita no puede ser representada con curvas multivaluadas sobre x (por ejemplo, un círculo), mientras que la forma explícita puede requerir utilizar criterios adicionales para especificar la curva cuando la ecuación tiene más soluciones de las deseadas.

Representación paramétrica.

Una representación paramétrica (por ejemplo, de una curva bidimensional) tiene la forma

P(t) = ( x(t), y(t) )T t1 <= t <= t2

La derivada o vector tangente es

P’(t) = ( x’(t), y’(t) )T

El parámetro t puede reemplazarse mediante operaciones de cambio de variable, y frecuente se normaliza de modo que t1 = 0 y t2 = 1. Aunque geométricamente la curva aparece equivalente, una operación de este tipo normalmente modifica el comportamiento de la curva (esto es visible al comparar sus derivadas).

3.3.3 Superficies cuadráticas

Definición:

Una superficie cuadrática (o cuàdrica) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

Donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide.

Tiene por ecuación

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse

2. Hiperboloide de una hoja.

Tiene por ecuación

Las trazas del hiperboloide son hiperbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa (en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

3. Hiperboloide de dos hojas.

Tiene por ecuación Las trazas de esta superficies son: Para planos paralelos a XZ son hiperbolas al igual que para planos paralelos al YZ.

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas.

4. Paraboloides

Tiene por ecuación Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas.

Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.

5. Paraboloide hiperbólico. Tiene por ecuación

Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios.

Trazas:

6. Conos

La superficie cuádrica que tiene por ecuación Se denomina Cono.

Las trazas del cono son:

7. Cilindro circular recto:

Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z

En el plano: En el Espacio:

8. Cilindro circular recto con eje en el eje y : Considere la ecuación:

En el plano: En el Espacio

8. Cilindro parabólico:

Considere la ecuación, que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie

En el plano En el espacio

9. Cilindro elíptico con eje en el eje z:

Considere la ecuación de la elipse en el plano yz, al recorrer el eje x se obtiene la superficie

En el espacio En el plano

10. Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:

Considere la ecuación que corresponde a una hipérbola centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie

3.3.4 Representaciones de “spline”.

Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado a la vez que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones resultan indeseables, que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos Splines Durante el proceso de diseño de edificios, automóviles o aviones, las formas finales de los objetos se modelaban a tamaño real (o casi real) donde las curvas se representaban usando splines, largas tiras de plástico o metal moldeadas por pesos ubicados en posiciones específicas. Matemáticamente, estas curvas pueden ser descritas por la unión de secciones de polinomiales cúbicas cuyas primera y segunda derivadas son continuas entre cada sección de la curva.

En Computación Gráfica, una spline es comúnmente referida como una curva compuesta de secciones polinomiales satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad entre ellas. Representaremos una curva polinomial cúbica en su forma paramétrica P(t) = B1t3 + B2t2 + B3t + B4 t1 <= t <= t2 Una spline es descrita por un conjunto de puntos llamados puntos de control. Cuando la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Cuando lo anterior no es cierto, se dice que la curva aproxima los puntos. Mientras que el primer tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación, el segundo es principalmente usado en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos.

Durante el proceso de diseño de edificios, automóviles o aviones, las formas finales de los objetos se modelaban a tamaño real (o casi real) donde las curvas se representaban usando splines, largas tiras de plástico o metal moldeadas por pesos ubicados en posiciones específicas. Matemáticamente, estas curvas pueden ser descritas por la unión de secciones de polinomiales cúbicas cuyas primera y segunda derivadas son continuas entre cada sección de la curva.

En Computación Gráfica, una spline es comúnmente referida como una curva compuesta de secciones polinomiales satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad entre ellas.

Representaremos una curva polinomial cúbica en su forma paramétrica

P(t) = B1t3 + B2t2 + B3t + B4 t1 <= t <= t2

Una spline es descrita por un conjunto de puntos llamados puntos de control. Cuando la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Cuando lo anterior no es cierto, se dice que la curva aproxima los puntos. Mientras que el primer tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación, el segundo es principalmente usado en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos. Condiciones de continuidad

Al estar compuesta por varias partes de polinomios cúbicos, la suavidad de una spline puede especificarse imponiendo condiciones de continuidad entre secciones. Continuidad paramétrica Cn exige que las derivadas de grado n de las secciones polinomiales coincida. Continuidad geométrica Gn exige que la dirección y sentido de las derivadas de grado n coincida. Si bien la continuidad paramétrica normalmente es más fuerte que la geométrica, existen casos especiales (cuando la derivada vale 0) en que Gn no implica Cn.

Curvas de Hermite

La forma Hermite de un segmento de curva polinomial cúbica es determinada por los puntos extremos P1 y P2 y los vectores tangentes P1′ y P2′. Usando estos valores, podemos despejar las incógnitas Bi de la ecuación paramétrica (en este caso normalizada) y obtener:

3.3.5 Curvas y superficies de Bézier.

La Geometría Diferencial de Gauss trata del estudio de curvas y superficies, e incluso objetos de más dimensiones denominados variedades.

Básicamente, el método consiste en describir las curvas o superficies a estudiar con una función vectorial de unos parámetros, que hacen que un vector se mueva sobre dicha curva al variar el parámetro de forma local.

Hay que tener en cuenta que esto solo es necesario de forma local. Tal y como está expresado el enunciado, puede inducir a pensar que la Geometría Diferencial describe las superficies como una función vectorial de dos parámetros. Esto es falso, puesto que ha de definirse una función vectorial de dos parámetros sobre un abierto para cada punto de la superficie, pudiendo darse el caso en que distintos puntos deban ser representados por funciones distintas sobre abiertos distintos.

Otro matiz que debe hacerse a la anterior afirmación es el carácter diferenciable de estas funciones, que es lo que distinguiría el estudio de curvas, superficies y variedades que hace la Geometría Diferencial del que hace la Topología.